П2.3 Непрерывно-дискретное преобразование Фурье.
Теорема Котельникова

Рассмотрим теперь значения временного ряда, представляющие собой данные, выбранные из непрерывной реализации СП через равные промежутки времени $T$. Моделирование такой выборки производят с помощью дельта-функции (см. формулу (1.37)):

$$\begin{eqnarray*} x(i)=\int _{-\infty}^{\infty } x(\tau )\delta (iT-\tau )d\tau ; \end{eqnarray*}$$

$x(i)$ -- бесконечный временной ряд, элементы которого соответствуют моментам времени $iT$ ( $-\infty < i < \infty$).

Прямое и обратное преобразования Фурье для бесконечного временного ряда имеют вид:

$$X(f)=T\sum _{-\infty }^{\infty } x(i)e^{-j2\pi fiT},~~~ x(i)=\int _{-F_n}^{F_n} X(f)e^{j2\pi fiT}df.$$ (П49)

Система (1.49)  называется  непрерывно-дискретным  преобразова- нием Фурье. Преобразование (1.49) отличается от преобразования Фурье (1.33), (1.36) для непрерывной реализации следующим. Во-первых, теперь в выражении для прямого преобразования вместо интеграла записана сумма. Это является следствием замены непрерывного аргумента функции $x(t)$ на дискретный аргумент^П1. Во-вторых, в выражении для обратного преобразования (1.49) пределы интегрирования конечны: максимальная разрешаемая частота в спектре равна $F_n$. Частота $F_n$ называется частотой отсчетов Найквиста; она равна $F_n=1/(2T)$, где $T$ -- интервал дискретизации. Существование частоты Найквиста следует из теоремы Котельникова (теоремы отсчетов), определяющей условия, при которых непрерывный сигнал, дискретизированный по временной (или пространственной) переменной, может быть восстановлен по своим отсчетам без потери какой-либо информации о нем.

Согласно теореме Котельникова, если $T$ такой интервал дискретизации, что $T\le (2F_n)^{-1}$, и выполняются следующие условия:

1) функция $x(t)$ определена для всех значений времени $-\infty <t<\infty$;

2) существует преобразование Фурье $X(f)$ функции $x(t)$;

3) функция $X(f)$ ограничена, т.е. $\vert X(f)\vert =0$ при $\vert f \vert >F_n$,

тогда функция $x(t)$ может быть восстановлена по последовательности $x(i)$ единственным образом, за исключением, быть может, изолированного множества точек.

Другими словами, теорема Котельникова утверждает, что непрерывная реализация $x(t)$ может быть восстановлена по бесконечному временному ряду $x(i)$ однозначно, если спектральный состав реализации ограничен и максимальная частота $f_{max}$ в спектре реализации меньше или равна частоте Найквиста: $f_{max}\le F_n$. Если это условие не выполняется, т.е. в спектре исходной непрерывной реализации содержатся частоты, б $\acute {\rm о}$льшие частоты Найквиста ($f_{max}>F_n$), то при восстановлении реализации по ее дискретному представлению неизбежно возникнут неоднозначности, которые называются ошибками маскировки (подмены) частот. Эти ошибки и способы борьбы с ними мы рассмотрим в третьей главе.