П2.1 Преобразование Фурье и его основные свойства

Прямое преобразование Фурье имеет вид:

$$X(f)=\int _{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-j 2\pi ft}dt; ~~~$$ (П33)

здесь $x(t)$ -- некоторая функция, $j$ -- мнимая единица. Это преобразование часто записывают в форме:

$$X(f)=F[x(t)].$$ (П34)

Исходная независимая переменная $t$ измеряется, как правило, в секундах, а получаемая независимая переменная $f$ -- в герцах. Преобразование Фурье существует, если выполняется условие абсолютной интегрируемости функции $x(t)$:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \vert x(t)\vert dt<\infty.$$ (П35)

Обратное преобразование Фурье записывается в виде:

$$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty } X(f)e^{j2\pi ft}dt, ~~~x(t)=F^{-1}[X(f)].$$ (П36)

С преобразованием Фурье тесно связано понятие дельта-функции $\delta$ (функции Дирака). Это функция, график которой имеет бесконечную высоту, нулевую ширину и площадь, равную единице. Математическое определение дельта-функции имеет вид:

$$x(t_0)=\int _{-\infty }^{\infty } x(t)\delta (t-t_0)dt.$$ (П37)

С помощью  математической  операции  (1.37)  из непрерывного процесса $x(t)$  выделяется  одна  точка $x(t_0)$,  соответствующая  моменту времени $t_0$.

Найдем обратное преобразование Фурье функции $\delta(f-f_0)$:

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (f-f_0) e^{j2\pi ft}df= e^{j2\pi f_0t}.$$ (П38)

Видно, что из всех значений показательной функции дельта-функция выделяет одно, соответствующее частоте $f_0$. Применяя формулу Эйлера, выражение (1.38) можно переписать в виде:

$$e^{j2\pi f_0t}= \cos (2\pi f_0 t)+j\sin (2\pi f_0 t).$$ (П39)

Аналогично найдем обратное   преобразование  Фурье  функции $\delta(f+f_0)$:

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (f+f_0) e^{j2\pi ft}df= e^{-j2\pi f_0t}= \cos (2\pi f_0 t)-j\sin (2\pi f_0 t).$$ (П40)

Среди всех известных и часто применяемых на практике функций особую роль при решении задачи анализа временного ряда играют гармонические функции и так называемый прямоугольный импульс. Найдем их преобразования Фурье ^П1.

1. Преобразование Фурье гармонического сигнала

Непосредственно из равенств (1.38)-(1.40) можно определить преобразования Фурье гармонических функций $\cos (2\pi f_0 t)$ и $\sin (2\pi f_0 t)$. С этой целью сложим соотношения (1.38) и (1.40) с одновременным умножением на $1/2$:

$$\begin{eqnarray*} \int _{-\infty }^{\infty }\frac {\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)... ...\frac {1}{2}\left( \cos (2\pi f_0 t)+j\sin (2\pi f_0 t)\right) + \end{eqnarray*}$$

$$~ + \frac{1}{2}\left( \cos (2\pi f_0 t)-j\sin (2\pi f_0 t)\right) = \cos (2\pi f_0 t).$$ (П41)

Таким образом, преобразование Фурье косинуса (рис. 8) есть сумма двух дельта-функций $\delta(f-f_0)$ и $\delta(f+f_0)$, каждая из которых берется со множителем $1/2$. Это означает, что косинус во временной области переходит в сумму двух дельта-функций в области частот, причем дельта-функции расположены на частотной оси в точках $\pm f_0$, соответствующих частоте косинуса $f_0$. Отсюда следует, что вся информация о функции $\cos (2\pi f_0 t)$ после преобразования в область частот сконцентрирована в частотах $\pm f_0$ Гц.

: Рис. 8. Преобразование Фурье функции косинус.

Преобразование Фурье функции $\sin (2\pi f_0 t)$ имеет вид:

$$X(f)=\frac {\delta (f-f_0)-\delta (f+f_0)}{2j}.$$ (П42)

Видно, что функция синус в области частот является мнимой с двумя дельта-пиками в точках $\pm f_0$.

2. Преобразование Фурье прямоугольного импульса

Прямоугольный импульс и его преобразование Фурье будем обозначать $u(t)$ и $U(f)$, соответственно.

Функция $u(t)$ имеет вид (рис. 9,  а):

$$\begin{eqnarray*} u(t)= \left\{ \begin{array}{cc} 1, & \mbox{ $-P/2\le t \le P/2$,} \\ 0 & \mbox{ в противном случае}. \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

Получим преобразование Фурье этой функции:

$$U(f)=\int _{-P/2}^{P/2} e^{-j2\pi ft}dt=\frac {\sin (\pi fP)}{\pi f}.$$ (П43)

Таким образом,  преобразование Фурье  прямоугольного импульса представляет собой симметричную относительно оси ординат функцию, максимум которой достигается на частоте $f=0$. График этой функции представлен на рис. 9,  б. Видно, что ширина центрального выступа равна $2/P$. Это означает, что ширина в области частот обратно пропорциональна ширине во временной области.

: Рис. 9. Прямоугольный импульс ( а) и его преобразование Фурье ( б).

Прямоугольный импульс играет важную роль при решении задач анализа временных рядов: с помощью этой функции осуществляется моделирование реализации случайного процесса конечной длины.

Укажем два важных свойства преобразования Фурье, которые используются при работе с выборочными данными.

Свойство 1. Если имеются две функции $x(t)$ и $y(t)$, то их произведение $z(t)=x(t)y(t)$ при преобразовании Фурье переходит в интеграл, который называется сверткой и имеет вид:

$$Z(f)=X(f)*Y(f)=\int _{-\infty}^{\infty} X(\eta)Y(f-\eta )d\eta = \int _{-\infty}^{\infty} X(f-\eta)Y(\eta )d\eta ;~~~$$ (П44)

символ "*" обозначает операцию свертки.

Свойство 2.

$$F[x(t-t_0)]=X(f)e^{-j2\pi ft_0}.$$ (П45)

Эта теорема о преобразовании Фурье утверждает, что запаздыванию во временной области соответствует умножение на комплексную экспоненту в области частот.