Вейвлет-преобразование широко используется для анализа нестационарных процессов. Оно показало свою эффективность для решения широкого класса задач, связанных с подавлением шумов, сжатием больших объемов информации, анализом геофизических полей и сигналов, изучением свойств турбулентных полей, обработкой и синтезом сигналов, например речевых, анализом изображений различной природы, например, изображений радужной оболочки глаза, рентгенограмм почки, спутниковых снимков и т. п., а также для решения многих других задач.
Вейвлет-преобразование, как и преобразование Фурье, состоит в вычислении корреляций между анализируемым временным рядом и базисной функцией преобразования. Так, преобразование Фурье направлено на выявление гармонических составляющих временного ряда. Для этой цели применяется бесконечно-осциллирующая гармоническая функция, которая, по-существу, "накладывается" на анализируемую реализацию процесса. Затем проводится сравнение поведения гармонической функции и изучаемой реализации путем вычисления корреляции. Если в результате сравнения выяснено, что они линейно зависимы, т.е. коррелированы между собой, то это означает, что в составе процесса имеются гармонические составляющие выбранной частоты. Затем частота гармонической функции изменяется и процедура сравнения повторяется. Результатом является спектральная функция, которая отражает исходный процесс из временной области в частотную.
Вейвлет-преобразование временного ряда состоит в разложении ряда по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами функции, называемой вейвлетомП1, посредством ее масштабных изменений и переносов. Каждая вейвлет-функция базиса характеризуется определенным масштабом (частотой) и локализацией во времени. В отличие от преобразования Фурье вейвлет-преобразование дает двумерную развертку одномерного процесса, при этом частота и время рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства процесса одновременно во временной и частотной областях.
В основе вейвлет-преобразования лежит идея многомасштабного анализа, которая заключается в последовательном огрублении исходной информации, содержащейся в процессе. Образно говоря, сначала процесс рассматривается под микроскопом, потом -- через лупу, потом -- невооруженным глазом, далее -- с расстояния в несколько шагов. Данный подход позволяет, во-первых, выявлять локальные особенности процесса и классифицировать их по интенсивности, при этом неважно, описывается ли эта особенность степенным рядом или гармонической функцией; во-вторых, отслеживать динамику частотного состава процесса во времени.
Операция огрубления исходной информации осуществляется путем сглаживания исходного ряда с помощью оконной функции -- вейвлета . Термином вейвлет обозначают локализованные во временной и частотной областях солитоноподобные функции, обладающие следующими свойствами:
-- нулевым средним ;
-- ограниченностью: функция быстро убывает при ; ;
-- автомодельностью: при масштабных преобразованиях вейвлета количество осцилляций функции не меняется.
Данные свойства определяют большой класс действительных и комплексных функций, которые являются вейвлетами.
Итак, вейвлет локализован сразу в двух областях --
временной и частотной, и для осуществления вейвлет-преобразования
произвольной реализации процесса необходимо предусмотреть
возможность сдвигов вейвлет-функций вдоль временной оси и масштабных
преобразований в частотной области путем сжатия или растяжения
исходного вейвлета. Такую возможность реализует базисная
функция следующего вида:
в которой параметры и являются действительными
числами и определяют масштаб (величину, обратно пропорциональную
частоте) и временной сдвиг, соответственно. На основе этой базисной
функции вейвлет-преобразование непрерывной функции ,
определенной на всей временной оси
, записывается в
виде:
здесь
-- коэффициенты вейвлет-преобразования; символом "*"
отмечена комплексно-сопряженная функция. Параметр меняется в
интервале
, пробегая всю временную ось, т.е. всю
временную область, на которой определена функция . Параметр
меняется от до , но обычно рассматривается только
положительная область. Индекс у коэффициентов
подчеркивает, что значение
зависит от выбора функции .
При использовании действительного вейвлета получается двумерный массив
коэффициентов , а при применении комплексного --
двумерные массивы значений модуля и фазы :
Процедура вычисления коэффициентов вейвлет-преобразования по формуле (2.26) для каждой пары параметров и выглядит следующим образом:
-- растянуть вейвлет в раз по горизонтали и в раз по вертикали;
-- сдвинуть вейвлет в точку ; получаем вейвлет ;
-- усреднить значение функции c помощью временного окна .
Далее процедура повторяется для другой пары параметров и .
Обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью той же базисной
функции, что и прямое:
(П29) |
Коэффициенты вейвлет-преобразования временного ряда длины вычисляются по формуле (шаг дискретизации равен единице):
в которой параметр сдвига принимает целые значения из области , а параметр масштаба -- любое значение из области .
Коэффициенты вейвлет-преобразования содержат информацию об анализируемом процессе и используемом вейвлете. Поэтому выбор анализирующего вейвлета определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из процесса. Каждый вейвлет имеет характерные особенности во временной и частотной областях, поэтому иногда с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства анализируемого процесса. Если провести аналогию с микроскопом, а вейвлет часто называют математическим микроскопом, то параметр сдвига фиксирует точку наведения микроскопа, параметр масштаба -- его увеличение и, наконец, базисный вейвлет определяет оптические свойства микроскопа.
Рассмотрим несколько примеров вейвлетообразующих функций. Простейшим
является HAAR-вейвлет, названный так по имени
предложившего его Хаара, и
определяемый соотношением:
Этот вейвлет имеет резкие границы во
временной области и, как следствие, бесконечно осциллирующие, но
убывающие хвосты в частотной области. Кроме того, HAAR-вейвлет является
несимметричным. Часто применяется очень похожий, но симметричный
FHAT-вейвлет (French HAT -- французская шляпа):
Фурье-образ этого вейвлета имеет вид:
здесь -- функция Хевисайда. Если правые чпсти формул (2.32) и (2.33) поменять местами, то получим вейвлет Литтвуда-Пели (LP-вейвлет), который в противоположность FHAT-вейвлету имеет резкие границы в частотной области и медленно спадает во временной области. FHAT- и LP-вейвлеты можно считать предельными случаями, между которыми находятся практически все вейвлет-функции.
Наиболее часто среди вещественных вейвлетов используются вейвлеты,
сконструированные на основе производных функций Гаусса:
здесь . Более высокие производные позволяют извлечь информацию об особенностях высокого порядка, содержащихся во временном ряде. Вейвлеты на основе функций Гаусса используются для анализа масштабных свойств временных рядов, в том числе мультифрактальных: типа особенности (степенная, импульсная, ступенька и т. п.), ее интенсивности, распределения особенностей по масштабам и т. д. На рис. 19, а и рис. 19, б показаны вейвлеты и их фурье-образы, полученные для и . По внешнему виду первый из них называют обычно WAVE-вейвлетом (WAVE-волна), второй -- мексиканской шляпой, или MHAT-вейвлетом (Mexican HAT).
Среди комплексных вейвлетов наибольшее распространение получил вейвлет
Морле:
Результаты вейвлет-преобразований во многом зависят от используемого вейвлета, однако вейвлет-преобразования обладают некоторыми универсальными свойствами, которые не зависят от вида вейвлета. Рассмотрим некоторые из этих свойств. Будем использовать обозначение .
1. Линейность:
(П36) |
2. Инвариантность относительно сдвига:
(П37) |
Из этого свойства следует коммутативность дифференцирования, в частности, . Поскольку коэффициенты вейвлет-преобразования являются гладкими функциями параметров даже для негладкой функции , то это свойство можно использовать для численного дифференцирования негладких функций с разрывами производной.
3. Инвариантность относительно растяжения (сжатия):
(П38) |
Это свойство позволяет выявлять особенности ряда и их характер путем анализа поведения коэффициентов вейвлет-преобразования при вместо анализа функции .
4. Частотно-временная локализация и наличие частотно-временного окна. Как известно, чем лучше функция сконцентрирована во времени, тем больше она "размазана" в частотной области. При переходе от одного масштаба к другому произведение временного и частотного разрешения (площадь частотно-временного окна) остается постоянным. Данное ограничение учитывается вейвлетным базисом, который извлекает высокочастотную информацию из относительно малых временных интервалов и наоборот, низкочастотную спектральную информацию из относительно широких интервалов. В результате вейвлет-преобразование позволяет проследить изменение частотного состава временного ряда с течением времени.
5. Дифференцирование:
Это свойство означает, что вместо дифференцирования исходного временного ряда, например, для удаления полиномиального тренда, можно продифференцировать нужное число раз вейвлет.
6. Энергетическое свойство:
из которого следует, что энергия процесса на каком-либо
масштабе может быть рассчитана через коэффициенты
вейвлет-преобразования;
можно интерпретировать
как плотность энергии процесса в частотно-временном пространстве.
Если провести усреднение вейвлет-коэффициентов по времени,
то получим распределение энергии по масштабам или так называемый
глобальный вейвлет-спектр:
Глобальный вейвлет-спектр соответствует спектру мощности, сглаженному на каждой частоте с помощью оконной функции, которая определяется фурье-образом вейвлета. Поэтому спектры, вычисленные с помощью вейвлет-преобразования, являются гораздо более гладкими, чем спектры, полученные через преобразование Фурье.
=.45 =.45
Рис. 20. Временной ряд с меняющейся во времени частотой ( а), его спектр мощности, рассчитанный с помощью преобразование Фурье ( б), глобальные вейвлет-спектры ( в), рассчитанные с помощью MHAT-вейвлета (сплошная линия) и вейвлета Морле (пунктирная линия), скелетоны коэффициентов вейвлет-преобразования, рассчитанные с помощью вейвлета Морле ( г) и MHAT-вейвлета ( д), частотно-временные вейвлет-спектры, полученные с помощью вейвлета Морле ( е) и MHAT-вейвлета ( ж). Более светлый цвет на рисунках ( е) и ( ж) соответствует б льшим значениям коэффициентов вейвлет-преобразования.
Способы графического представления результатов вейвлет-преобразования могут быть самыми различными. Вейвлет-спектр представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Вместо изображения поверхности часто используется, во-первых, проекция на плоскость с изображением изоуровней, которые позволяют проследить изменения интенсивностей коэффициентов вейвлет-преобразования на разных временных масштабах, и, во-вторых, картины локальных экстремумов поверхностей, так называемый скелетон, четко выделяющий структуру анализируемого процесса.
Рассмотрим возможности вейвлет-преобразования в выявлении характерных особенностей процессов. В качестве реализации СП рассмотрим нестационарный временной ряд , частота которого сначала линейно растет, а потом скачком выходит на постоянное значение. На рис. 20 представлен ряд , его спектр мощности П1, рассчитанный через преобразование Фурье, глобальные вейвлет-спектры и скелетоны , полученные с помощью MHAT-вейвлета и вейвлета Морле, а также частотно-временные спектры . Видно (рис. 20, а), что спектр мощности, вычисленный через преобразование Фурье, дает неверную информацию о частотном составе реализации: энергия высокочастотных компонент значительно превышает истинную. Глобальные вейвлет-спектры (рис. 20, б) показывают правильное соотношение между энергиями низко- и высокочастотных составляющих ряда. Скелетон (рис. 20, г) и коэффициенты вейвлет-преобразования (рис. 20, е), рассчитанные с помощью вейвлета Морле, дают локализацию гармонических составляющих ряда во времени. Изображения коэффициентов и их скелетона, полученные с помощью MHAT-вейвлета (рис. 20, д, ж), более непривычные, но отражают ту же информацию. MHAT-вейвлет позволяет также оценить характер "скачка" частоты, реагируя на изменение формы реализации, а не ее частотного состава.