2. Специальные методы анализа временных рядов

Под специальными методами мы будем понимать методы, которые разработаны для анализа нестационарных случайных процессов, т.е. процессов, статистические свойства которых изменяются во времени.

Большинство случайных процессов, встречающихся на практике, имеют нестационарный характер. Примерами могут служить нестационарные волны в океане, нестационарные геофизические процессы, атмосферная и гидродинамическая турбулентность, переходные процессы в радиофизических устройствах, информационные потоки и т. п. Для анализа нестационарных СП классические методы, описанные в первом разделе пособия, оказываются неприменимыми. Не существует также единой методологии, в рамках которой можно исследовать свойства нестационарных СП различной природы. Поэтому были разработаны методы специальные, предназначенные для анализа только отдельных классов процессов. К ним относятся, в частности, методы, основанные на использовании преобразования Гильберта и вейвлет-преобразования^П1.

В некоторых случаях нестационарные СП, соответствующие реальным физическим явлениям, имеют особенности, которые упрощают их анализ и измерение: иногда данные удается представить в виде случайного процесса $X(t)$, все выборочные функции которого имеют вид:

$$x(t)=a(t)+u(t)$$ (П1)

или

$$x(t)=a(t)u(t)~~~~$$ (П2)

и т. п.; здесь $u(t)$ -- выборочная функция стационарного СП, $a(t)$ -- детерминированная функция, определяющая нестационарную часть процесса, которая называется трендом.

Для выборочных функций СП, дискретизированных по аргументу, формулы (2.1) и (2.2) принимают вид:

$$x(t_i)=a(t_i)+u(t_i),$$ (П3)

$$x(t_i)=a(t_i)u(t_i);~~~$$ (П4)

здесь $a(t_i)$ -- стационарный временной ряд и $u(t_i)$ -- тренд.

Возможность представления выборочных функций в формах (2.3) и (2.4) означает, что можно выделить во временном ряде тренд, т.е. некоторую детерминированную составляющую ряда, которая описывает плавные или периодические изменения его характеристик (например, среднего или дисперсии); после удаления тренда остается лишь случайная компонента временной последовательности, которая обладает свойством стационарности. Очевидно, что, если удается произвести операцию удаления тренда, то анализ нестационарной временной реализации значительно упрощается и сводится к исследованию ее случайной стационарной составляющей классическими методами. Именно поэтому анализ временных рядов любой природы необходимо начинать с процедуры сведения к стационарности, и только если этого сделать не удается, целесообразно применять специальные подходы.