П1.3 Вычисление плотности вероятности

Пусть имеется реализация эргодического случайного процесса $x(t)$. Поскольку на практике исследователь имеет дело с выборками, т.е. с реализациями СП конечной длины, то по экспериментальным данным можно построить лишь   выборочную  плотность  вероятности, являющуюся оценкой плотности вероятности СП. Для того, чтобы подчеркнуть, что полученная величина является оценкой того или иного параметра, будем использовать знак "$\hat{~}$" над оцениваемым параметром.

Итак, посмотрим, как на практике можно построить выборочные одномерные плотности вероятности СП, или гистограммы. Пусть величина $x$ может принимать значения из интервала $a\le x<b$. Этот интервал делят на $n$ подинтервалов равной длины, которые называют интервалами группировки. Деление производят так, чтобы полная область изменения $x$ распалась на $(n+2)$ интервала. После этого фиксируют число попаданий имеющихся данных в каждый интервал группировки и на основе этого эксперимента строят гистограмму.

Поясним это. Обозначим символом $\{ N_k\}$ множество целых чисел, полученное при подсчете попаданий $\{x_i \}$ в $k$-й интервал. Пусть шаг и начало $k$-го интервала равны соответственно $c=(b-a)/n$ и $d_k=a+kc$, тогда $\{ N_k\}$ определяются следующим образом:

Таблица 1

$k$	$N_k$
0	число таких $x$, что $x<a$
...	...
$k$	число таких $x$, что $d_{k-1}\le x<d_k$
...	...
$n$	число таких $x$, что $d_{n-1}\le x<b$
$(n+1)$	число таких $x$, что $x\ge b$

Самым простым методом такой сортировки на ЭВМ является перебор всех значений $x(i), i=1, \dots N$ со следующими проверками:

1. Если $x(i)<a$, то $N_0=N_0+1$,

2. Если $x(i)\ge b$, то $N_{n+1}=N_{n+1}+1$,

3. Если $a\le x(i)<b$, то вычислить

$$k={\rm INT}\left( \frac {x(i)-a}{c}\right) +1~~~~~~ {\rm и}~~~~~ N_k=N_k+1.$$ (П1)

В формуле (1.1) функция INT обозначает операцию округления числа до целой части. На основе полученных результатов можно построить последовательности (или функции) двух видов:

1. Гистограмму, т.е. множество $\{ N_k\}$, взятое без всяких изменений.

2. Последовательность $\{ p_k \}$ ($p_k=N_k/N$, $k=0,1,\dots , n+1$), которая определяет выборочную вероятность того, что $d_{k-1}\le x<d_k$. Поскольку для последовательности $\{ p_k \}$ выполняется условие нормировки $\sum_{k=0}^{n+1}p_k=1$, то ее можно рассматривать как дискретную аппроксимацию плотности вероятности $p(x)$.