Генератор ван дер Поля представляет собой модель второго порядка относительно производной \[ \ddot{x} - \varepsilon ( 1 - x^{2} ) \dot{x} + \omega^{2}_{0} x = 0, \] которая по праву считается классической моделью теории колебаний. Как правило, именно на ее примере обсуждается проблема возбуждения незатухающих колебаний и стабилизации их амплитуды. Параметр \( \omega \) определяет частоту автоколебаний в системе, параметр нелинейности \( \varepsilon \) управляет интенсивностью диссипации/подкачки энергии.
Эта математическая модель описывает пассивный нелинейный контур, находящийся под воздействием внешней вынуждающей силы (периодическое воздействие) \[ \ddot{x} + k \dot{x} - \alpha x ( \beta - x^{2} ) = A \cos ( \omega t ), \] где \( k \) - параметр, отвечающий за диссипацию в контуре \( ( k = 0.1 \dots 0.2 ) \), \( \alpha \) и \( \beta \) позволяют задавать нелинейную характеристику. В правой части уравнения - внешняя вынуждающая сила с амплитудой \( A \) и частотой \( \omega \). Типичные значения параметров: \( \alpha = 0.5, \beta = 1 \) или \( \alpha = 1, \beta = 0 \).
Подобный тип автоколебательной системы известен с 50-х годов (работы К.Ф. Теодорчика). В соответствии с названием, амплитуда колебаний такого генератора регулируется не характеристикой усилительного каскада, а специальной цепью обратной связи (ОС). \( f(x) \) - нелинейная передаточная функция однополупериодного квадратичного детектора, \( m \) - нормированный параметр петлевого усиления, \( g \) - нормированный параметр инерционности (отношение частоты среза в петле цепи ОС к собственной частоте колебаний генератора). \[ \begin{aligned} & \dot{x} = x(m-z)+y,\\ & \dot{y} = -x,\\ & \dot{z} = g(f(x)-z), \end{aligned} \] где \( f(x)=x(x+|x|)/2 \). Типичные значения параметров: \( g = 0.2, \dots, 0.3, m = 0, \dots, 2.0 \).
Этот пример несложной радиотехнической системы с весьма разнообразной динамикой был разработан T. Matsumoto, L. Chua и др. в 1984г. Эта система была исследована и использована в качестве модели в множестве работ различных авторов. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = \alpha (y-x-f(x)),\\ & \dot{y} = x-y+z,\\ & \dot{z} = -\beta y, \end{aligned} \] где \( f(x) \) \( = \) \( cx \) \( + \) \( 0.5(b-c)(|x+d|-|x-d|) \) \( + \) \( 0.5(a-b)(|x+1|-|x-1|) \); \( \alpha, \) \( \beta, \) \( a, \) \( b, \) \( c, \) \( d \) - управляющие параметры системы; \( a, \) \( b, \) \( c, \) \( d \) задают нелинейную характеристику. Типичные значения параметров: \( \alpha = 11.0, \) \( \beta = 14.0, \) \( a=-0.713, \) \( b = -0.455, \) \( c=4.6, \) \( d=7.2 \).
Эта трехмерная система была предложена на основе динамики химических реакций. При вариации управляющих параметров \( \alpha \) и \( \mu \), она демонстрирует каскад бифуркаций удвоения периода и рождение хаотического аттрактора. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = -(y+z),\\ & \dot{y} = x + \alpha y,\\ & \dot{z} = \alpha + z(x - \mu), \end{aligned} \] где типичными являются следующие значения параметров: \( \alpha = 0.2, \mu = 2.6, \dots, 6.0 \).
Знаменитая система уравнений, полученная американским метеорологом Лоренцем при упрощении уравнений Зальцмана для тепловой конвекции в жидкости, ныне стала классическим примером динамической системы с хаотическим аттрактором. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = \sigma (y-x),\\ & \dot{y} = rx - y - xz,\\ & \dot{z} = -bz + xy, \end{aligned} \] где типичными являются следующие значения параметров: \( \sigma = 10, b = 8/3, r=28.0 \).
Модель Морриса-Лекара (Morris-Lecar) является упрощенной моделью нейрона Ходгкина-Хаксли (Hodgkin-Huxley). Она описывает такие свойства живого нейрона как генерация спайков (последовательности импульсов) и режим невосприимчивости к внешнему воздействию. \[ \begin{aligned} & \dot{v} = I_{\rm ion} (v,\omega) + I,\\ & \dot{\omega} = \varepsilon \dfrac{\omega_{\infty}(v)-\omega}{\tau_{\infty}(v)} \end{aligned} \] где \[ \begin{aligned} & I_{\rm ion} = \overline{g}_{C_a}m_{\infty}(v) + \overline{g}_{K} \omega(v_{K}-v) + \overline{g}_{L}(v_{L}-v);\\ & m_{\infty}(v) = 0.5\{1 + \tanh [(v+0.01)/0.15]\};\\ & \omega_{\infty}(v) = 0.5 [1+\tanh(v/0.3)];\\ & \tau_{\infty}(v) = 1/\cosh(v/0.6); \end{aligned} \] \( v \) - трансмембранный потенциал нейрона, \( w \) - описывает активность калийного тока, \( I \) - внешний стимулирующий ток, \( \varepsilon \) - параметр временного масштаба. Типичные значения параметров: \( I = 0.23, \) \( \overline{g}_{C_a} = 1.1, \) \( \overline{g}_{K}=2.0, \) \( \overline{g}_{L}=0.5, \) \( v_{C_a}=1.0, \) \( v_K=-0.7, \) \( v_L=-0.5, \) \( \varepsilon=0.02 \).
Модель ФитцХью—Нагумо (FitzHugh—Nagumo) является простой, но представительной моделью возбудимых систем. Она моделирует живой нейрон как возбудимую систему, генерирующую импульс как ответ на внешнее воздействие. Наиболее распространенной является следующая запись: \[ \begin{aligned} & \varepsilon \dot{x} = x - \dfrac{x^3}{3} - y,\\ & \dot{y} = x + a, \end{aligned} \] где типичными являются следующие значения параметров: \( \varepsilon = 0.01, a = 1.2 \).
Модель Хиндмарша—Розе (Hindmarsh—Rose) является феноменологической моделью динамики мембранного потенциала нейрона. Она является, по сути, законом Кирхгофа, записанным для потенциала клеточной мембраны как для суммы ионных токов текущих через нее. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = y - ax^3 + bx^2 - z + I,\\ & \dot{y} = c - dx^2 - y,\\ & \dot{z} = r ( s (x-\alpha) - z ) \end{aligned} \] где \( x \) описывает мембранный потенциал нейрона, \( y \) и \( z \) определяют динамику ионных токов, \( I \) - внешний ток, \( a, b, c, d, r, s, \alpha \) - параметры. Типичными являются следующие значения параметров: \( a = 1.0, \) \( b = 3.0, \) \( I = 2.7, \) \( c = 1.0, \) \( d = 5.0, \) \( r = 0.003, \) \( s = 4.0, \) \( \alpha = -1.6 \).
Двумерная система Хиндмарша—Розе получается из 3-мерной при \( r=0 \). Соответственно, координата \( z \), теперь выступающая в роли параметра, произвольна. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = y - ax^3 + bx^2 + I,\\ & \dot{y} = c - dx^2 - y, \end{aligned} \] где типичными являются следующие значения параметров: \( a = 1.0, b = 3.0, I = 2.7, c = 1.0, d = 5.0 \).
