Logo of Saratov State University
Logo of Physics Institute
Logo of Radiophysics and Nonlinear Dynamics Department
Генератор ван дер Поля (Van der Pol oscillator)

Генератор ван дер Поля представляет собой модель второго порядка относительно производной \[ \ddot{x} - \varepsilon ( 1 - x^{2} ) \dot{x} + \omega^{2}_{0} x = 0, \] которая по праву считается классической моделью теории колебаний. Как правило, именно на ее примере обсуждается проблема возбуждения незатухающих колебаний и стабилизации их амплитуды. Параметр \( \omega \) определяет частоту автоколебаний в системе, параметр нелинейности \( \varepsilon \) управляет интенсивностью диссипации/подкачки энергии.

Осциллятор Дуффинга (Duffing oscillator)

Эта математическая модель описывает пассивный нелинейный контур, находящийся под воздействием внешней вынуждающей силы (периодическое воздействие) \[ \ddot{x} + k \dot{x} - \alpha x ( \beta - x^{2} ) = A \cos ( \omega t ), \] где \( k \) - параметр, отвечающий за диссипацию в контуре \( ( k = 0.1 \dots 0.2 ) \), \( \alpha \) и \( \beta \) позволяют задавать нелинейную характеристику. В правой части уравнения - внешняя вынуждающая сила с амплитудой \( A \) и частотой \( \omega \). Типичные значения параметров: \( \alpha = 0.5, \beta = 1 \) или \( \alpha = 1, \beta = 0 \).

Генератор с инерционной нелинейностью (Generator with inertial nonlinearity)

Подобный тип автоколебательной системы известен с 50-х годов (работы К.Ф. Теодорчика). В соответствии с названием, амплитуда колебаний такого генератора регулируется не характеристикой усилительного каскада, а специальной цепью обратной связи (ОС). \( f(x) \) - нелинейная передаточная функция однополупериодного квадратичного детектора, \( m \) - нормированный параметр петлевого усиления, \( g \) - нормированный параметр инерционности (отношение частоты среза в петле цепи ОС к собственной частоте колебаний генератора). \[ \begin{aligned} & \dot{x} = x(m-z)+y,\\ & \dot{y} = -x,\\ & \dot{z} = g(f(x)-z), \end{aligned} \] где \( f(x)=x(x+|x|)/2 \). Типичные значения параметров: \( g = 0.2, \dots, 0.3, m = 0, \dots, 2.0 \).

Система Чуа (Chua's circuit)

Этот пример несложной радиотехнической системы с весьма разнообразной динамикой был разработан T. Matsumoto, L. Chua и др. в 1984г. Эта система была исследована и использована в качестве модели в множестве работ различных авторов. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = \alpha (y-x-f(x)),\\ & \dot{y} = x-y+z,\\ & \dot{z} = -\beta y, \end{aligned} \] где \( f(x) \) \( = \) \( cx \) \( + \) \( 0.5(b-c)(|x+d|-|x-d|) \) \( + \) \( 0.5(a-b)(|x+1|-|x-1|) \); \( \alpha, \) \( \beta, \) \( a, \) \( b, \) \( c, \) \( d \) - управляющие параметры системы; \( a, \) \( b, \) \( c, \) \( d \) задают нелинейную характеристику. Типичные значения параметров: \( \alpha = 11.0, \) \( \beta = 14.0, \) \( a=-0.713, \) \( b = -0.455, \) \( c=4.6, \) \( d=7.2 \).

Система Ресслера (Rössler system)

Эта трехмерная система была предложена на основе динамики химических реакций. При вариации управляющих параметров \( \alpha \) и \( \mu \), она демонстрирует каскад бифуркаций удвоения периода и рождение хаотического аттрактора. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = -(y+z),\\ & \dot{y} = x + \alpha y,\\ & \dot{z} = \alpha + z(x - \mu), \end{aligned} \] где типичными являются следующие значения параметров: \( \alpha = 0.2, \mu = 2.6, \dots, 6.0 \).

Система Лоренца (Lorenz system)

Знаменитая система уравнений, полученная американским метеорологом Лоренцем при упрощении уравнений Зальцмана для тепловой конвекции в жидкости, ныне стала классическим примером динамической системы с хаотическим аттрактором. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = \sigma (y-x),\\ & \dot{y} = rx - y - xz,\\ & \dot{z} = -bz + xy, \end{aligned} \] где типичными являются следующие значения параметров: \( \sigma = 10, b = 8/3, r=28.0 \).

Модель Морриса-Лекара (Morris-Lecar)

Модель Морриса-Лекара (Morris-Lecar) является упрощенной моделью нейрона Ходгкина-Хаксли (Hodgkin-Huxley). Она описывает такие свойства живого нейрона как генерация спайков (последовательности импульсов) и режим невосприимчивости к внешнему воздействию. \[ \begin{aligned} & \dot{v} = I_{\rm ion} (v,\omega) + I,\\ & \dot{\omega} = \varepsilon \dfrac{\omega_{\infty}(v)-\omega}{\tau_{\infty}(v)} \end{aligned} \] где \[ \begin{aligned} & I_{\rm ion} = \overline{g}_{C_a}m_{\infty}(v) + \overline{g}_{K} \omega(v_{K}-v) + \overline{g}_{L}(v_{L}-v);\\ & m_{\infty}(v) = 0.5\{1 + \tanh [(v+0.01)/0.15]\};\\ & \omega_{\infty}(v) = 0.5 [1+\tanh(v/0.3)];\\ & \tau_{\infty}(v) = 1/\cosh(v/0.6); \end{aligned} \] \( v \) - трансмембранный потенциал нейрона, \( w \) - описывает активность калийного тока, \( I \) - внешний стимулирующий ток, \( \varepsilon \) - параметр временного масштаба. Типичные значения параметров: \( I = 0.23, \) \( \overline{g}_{C_a} = 1.1, \) \( \overline{g}_{K}=2.0, \) \( \overline{g}_{L}=0.5, \) \( v_{C_a}=1.0, \) \( v_K=-0.7, \) \( v_L=-0.5, \) \( \varepsilon=0.02 \).

Модель ФитцХью—Нагумо (FitzHugh—Nagumo model)

Модель ФитцХью—Нагумо (FitzHugh—Nagumo) является простой, но представительной моделью возбудимых систем. Она моделирует живой нейрон как возбудимую систему, генерирующую импульс как ответ на внешнее воздействие. Наиболее распространенной является следующая запись: \[ \begin{aligned} & \varepsilon \dot{x} = x - \dfrac{x^3}{3} - y,\\ & \dot{y} = x + a, \end{aligned} \] где типичными являются следующие значения параметров: \( \varepsilon = 0.01, a = 1.2 \).

Трехмерная модель Хиндмарша—Розе (Hindmarsh—Rose model)

Модель Хиндмарша—Розе (Hindmarsh—Rose) является феноменологической моделью динамики мембранного потенциала нейрона. Она является, по сути, законом Кирхгофа, записанным для потенциала клеточной мембраны как для суммы ионных токов текущих через нее. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = y - ax^3 + bx^2 - z + I,\\ & \dot{y} = c - dx^2 - y,\\ & \dot{z} = r ( s (x-\alpha) - z ) \end{aligned} \] где \( x \) описывает мембранный потенциал нейрона, \( y \) и \( z \) определяют динамику ионных токов, \( I \) - внешний ток, \( a, b, c, d, r, s, \alpha \) - параметры. Типичными являются следующие значения параметров: \( a = 1.0, \) \( b = 3.0, \) \( I = 2.7, \) \( c = 1.0, \) \( d = 5.0, \) \( r = 0.003, \) \( s = 4.0, \) \( \alpha = -1.6 \).

Двумерная модель Хиндмарша—Розе (Hindmarsh—Rose model)

Двумерная система Хиндмарша—Розе получается из 3-мерной при \( r=0 \). Соответственно, координата \( z \), теперь выступающая в роли параметра, произвольна. \[ \begin{aligned} & \dot{x} = y - ax^3 + bx^2 + I,\\ & \dot{y} = c - dx^2 - y, \end{aligned} \] где типичными являются следующие значения параметров: \( a = 1.0, b = 3.0, I = 2.7, c = 1.0, d = 5.0 \).

  • Responsible for the maintenance and the content of the website: Andrei Bukh и Tatyana Bogatenko
    Copyright © 1995-2023