Приложение

Гармонический сигнал со случайной фазой, которая равномерна распределена в интервале $[0;2\pi ]$, представляет собой эргодический стационарный периодический СП вида:

$$X(t)=A \cos (\omega t + \varphi_0);$$ (П1)

здесь $A$ и $\omega=2\pi f_0$ являются постоянными для данного процесса величинами, а $\varphi_0$ -- случайная для различных реализаций величина, равномерно распределенная в диапазоне $[0;2\pi ]$:

$$\begin{eqnarray*} p(\varphi_0) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1/(2\pi), & 0\le \va... ... 2\pi , \\ 0, & \mbox{другие} \ \ \varphi_0 . \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

Плотность вероятности,  автоковариационная функция  и спектр мощности^П1 СП (.1) определяются соответственно выражениями:

$$p(x)=\left\{ \begin{array}{cc} (\pi \sqrt{A^2-x^2})^{-1}, \ \ \vert x\vert<A, \\ 0, \ \ \vert x\vert\ge A ; \end{array} \right.$$ (П2)

$$R_{xx}(\tau)= \frac{A^2}{2} \cos (\omega \tau) ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ (П3)

$$S_{xx}(f)= \frac{A^2}{2} \delta (f-f_0)+\frac{A^2}{2} \delta (f+f_0) .$$ (П4)

В последнем выражении символ "$\delta$" обозначает дельта-функцию, или функцию Дирака.

Белый шум является абстрактной моделью абсолютно случайного процесса, т.е. процесса, значения которого в два различных (но сколь угодно близких) момента времени статистически независимы. Понятие "белый шум" является одним из ключевых при теоретическом рассмотрении стохастических систем и моделировании шумовых процессов на ЭВМ. В теории случайных процессов белый шум обозначается символом "$\xi$":

$$X(t)=\xi(t).$$ (П5)

Процесс (.5) является эргодическим и стационарным.

Обычно рассматривают белый шум, имеющий нулевое среднее и гауссову плотность вероятности [1]:

$$p(\xi)=\frac {1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{\xi}}\exp \left[\frac{-\xi^2}{2 \sigma _{\xi}^2} \right];$$ (П6)

здесь $\sigma_{\xi}^2$ -- дисперсия (интенсивность) белого шума. В общем случае белый шум может иметь другие типы распределений. Отсутствие корреляций у белого шума характеризуется дельта-коррелированной ковариационной функцией и бесконечно широкой равномерной спектральной плотностью:

$$R_{\xi \xi }(\tau)= \sigma _{\xi}^2 \delta (\tau ),$$ (П7)

$$S_{\xi \xi}(f)= \sigma _{\xi}^2\ \ \mbox{для} \ \ -\infty <f<\infty .$$ (П8)

Цветной шум, или процесс Орнштейна-Уленбека [1], также является идеализацией реальных шумовых процессов, но в отличие от белого шума значения цветного шума в два различных момента времени связаны между собой. Процесс Орнштейна-Уленбека $X_c(t)$ -- эргодический и стационарный [1], поскольку может быть получен в результате линейного инерционного преобразования белого шума (.5):

$$\dot X_c(t)+\alpha X_c(t)= \alpha \xi(t),$$ (П9)

здесь $\alpha$ -- параметр, определяющий степень корреляции между значениями СП (.9) в различные моменты времени; точка над $X$ здесь и далее означает дифференцирование по времени.

Плотность вероятности,  автоковариационная функция  и спектр мощности СП (.9) определяются соответственно выражениями:

$$p(x_c)=\frac {1}{\sqrt{2\pi} \sigma_c } \exp \left[ \frac{-x_c^2}{2 \sigma_c^2} \right],$$ (П10)

$$R_{xx}(\tau)= \sigma_c^2 e^{-\alpha \vert\tau\vert} ,~~~~~~~~~~~~$$ (П11)

$$S_{xx}(f)= \frac {2\alpha \sigma_c^2 }{\alpha^2+ 4\pi^2 f^2},~~~~~~~$$ (П12)

в которых $\sigma_c^2=\sigma _{\xi}^2\alpha$ -- дисперсия цветного шума.

Узкополосный шум является моделью шума в любой резонансной системе. Узкополосный шум, как и цветной, получается с помощью линейного инерционного преобразования белого шума:

$$\ddot X_h(t)+ \Gamma \dot X_h(t)+\omega_0^2 X_h(t)= \xi(t);$$ (П13)

здесь $\Gamma$ и $\omega_0$ -- параметры, определяющие характеристики процесса.

Плотность вероятности,  автоковариационная функция  и спектр мощности СП (.13) имеют вид^П1:

$$p(x_h)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}\sigma_h}\exp \left[ \frac{-x_h^2}{2 \sigma_h^2} \right], ~~~~~~~~$$ (П14)

$$R_{xx}(\tau)\approx \sigma_h^2 e^{-\Gamma \vert\tau\vert} cos(\omega_0\tau ),~~~~~~~~~~$$ (П15)

$$S_{xx}(f)= \frac { \sigma _{\xi}^2 }{(4\pi^2 f^2-\omega_0^2)^2 +\Gamma^2 4\pi^2 f^2};$$ (П16)

здесь $\sigma_h^2 \approx \sigma _{\xi}^2\omega_0^2/(8 \Gamma)$ -- дисперсия узкополосного шума.