П1.7 Вычисление ковариационных и корреляционных
функций

В подавляющем большинстве практических случаев ковариационные и корреляционные функции не могут быть вычислены по формулам (1.13)-(1.16), поскольку совместные плотности вероятности неизвестны. Поэтому оценивают временные ковариационные и корреляционные функции по ограниченной выборке по формулам (1.17)-(1.20) в предположении, что случайный процесс является эргодическим.

Пусть случайный процесс $X(t)$ наблюдается в течение интервала времени от $0$ до $T$ секунд, т.е. имеется выборка $x(t)$. Тогда ковариационную и корреляционную функции можно оценить по формулам:

$$\hat {R}_{xx}(\tau ) = \frac {1}{T-\tau }\int_{0}^{T-\tau} x(t)x(t+\tau )dt,$$ (П28)

$$\hat {C}_{xx}(\tau ) = \frac {1}{T-\tau }\int_{0}^{T-\tau} (x(t)-\hat{\mu}_x)(x(t+\tau)- \hat{\mu}_x)dt,$$ (П29)

в которых $0\le \tau \le T$. Время усреднения равно $T-\tau$, а не $T$, поскольку выборочная функция охватывает только часть наблюдаемых данных, включающих как $x(t)$, так и $x(t+\tau)$. Итак, чтобы оценить, например, ковариационную функцию, следует сдвинуть реализацию на время $\tau$, перемножить исходную и сдвинутую реализации и усреднить полученное произведение  по  всей реализации или по  некоторому ее отрезку. Эта процедура выполняется для всех требуемых  значений  сдвига времени $\tau$.

На практике выполнить интегрирование в (1.28) и (1.29) невозможно, т. к. математическое выражение для $x(t)$ обычно неизвестно. В этом случае интеграл аппроксимируют суммой выборок из непрерывной временной функции в определенные моменты времени. Таким образом, если выборки из исследуемой реализации $x(t)$ соответствуют моментам времени $0$, $\Delta t$, $2\Delta t$, $\dots$, $N\Delta t$ и если их значения равны $x_0$, $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_N$, то дискретными эквивалентами выражений (1.28) и (1.29) будут следующие:

$$\hat {R}_{xx}(n\Delta t) = \frac {1}{N-n+1}\sum_{k=0}^{N-n} x_k x_{k+n},$$ (П30)

$$\hat {C}_{xx}(n\Delta t) = \frac {1}{N-n+1}\sum_{k=0}^{N-n} (x_k-\hat{\mu}_x) (x_{k+n}-\hat{\mu}_x);$$ (П31)

здесь $n=0, 1, 2, \dots , M;~~~ M\ll N$.

Вычисление взаимных ковариационных и корреляционных функций производится аналогичным образом. Отметим лишь одно обстоятельство: одинаковая точность оценок авто- и взаимных ковариационных и корреляционных функций достигается лишь в том случае, если число выборок, используемых для расчета взаимных функций, намного превышает количество выборок, применяемых для расчета авто- ковариаций и корреляций.

Поскольку на практике часто используют коэффициент взаимной корреляции (1.27), приведем выражение, с помощью которого можно оценить этот коэффициент по дискретному временному ряду:

$$\hat{c}_{xy}(n) = \frac{1}{N-n+1} \times$$

$$\times \frac{\sum_{k=0}^{N-n}(x_k-\hat{\mu}_x)(y_{k+n}-\hat{\mu}_y)} { \... ...-n}(x_k-\hat{\mu}_x)^2 \sum_{k=0}^{N-n}(y_{k+n}-\hat{\mu}_y)^2 \right]^{1/2} };$$ (П32)

здесь $n=0, 1, 2, \dots , M;~~~ M\ll N$.