Лабораторная работа практикума "Методы нелинейной динамики"
"Двупараметрический анализ бифуркаций предельных циклов"

Задачи лабораторной работы:

Ознакомление с методами исследования периодических орбит автономных и неавтономных динамических систем на устойчивость и с основными их типами в трехмерном фазовом пространстве.
Освоение программного комплекса LOCBIF в его части, предназначенной для исследования предельных циклов автономных и неавтономных динамических систем с непрерывным временем (программы LBLC и LBPS).
Овладение навыками двупараметрического бифуркационного анализа.


Теоретические сведения

Работа 2 из пособия "Бифуркации регулярных аттракторов".1996.102с.

Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.1999.368с.

О комплексе LOCBIF и программе LBLC

Порядок выполнения лабораторной работы

1) Ознакомление с теоретическим материалом

2) Общее ознакомление с программами LBPS и LBLC, особенности задания уравнений динамической системы (отличия от LBEP).

3) Проведение двупараметрического бифуркационного анализа для заданной ДС в заданном интервале параметров.

4) Подготовка отчета по работе

Контрольные вопросы

1) Каков смысл мультипликаторов предельного цикла?

2) В чем разница сходимости (расходимости) возмущения для случаев, когда действительная часть мультипликаторов положительна и отрицательна?

3) Какие локальные бифуркации предельных циклов в трехмерном фазовом пространстве вам известны?

Список вариантов задания на выполнение лабораторной работы


Исследование осциллятора ван дер Поля с внешним периодическим воздействием.

d2X/dt2 - E(M-X2)dX/dt + X = Acos(W*t)


Осциллятор ван дер Поля управляется параметрами E и M. Его собственная частота колебаний равна единице. Внешнее периодическое воздействие амплитудой А и частотой W синхронизует колебаний осциллятора ван дер Поля в определенном диапазоне частот, зависящем от амплитуды воздействия. При этом, на плоскости двух параметров имеет место т.н. "язык Арнольда", или клюв синхронизации, границы которого образованы бифуркационными линиями исчезновения резонансных циклов, Задачей численного исследования в лабораторной работе является построение набора бифуркационных линий, формирующих область синхронизации, при фиксированных значениях параметров Eи M и изменении параметров W и A в заданной области. При этом, основное внимание в задании 1 и 3 следует обращать на линии седлоузловых бифуркаций, формирующие клюв синхронизации, а в задании 2 - на построение линии бифуркации рождения тора. Так как система неавтономная, то следует пользоваться программой LBPS. Имя уравнений системы в комплексе LOCBIF - VDP

Вариант 1Вариант 2Вариант 3
A=0.0 ... 0.4
W=0.9 ... 1.1
E=0.2
M=1.0
A=0.0 ... 8.0
W=0.1 ... 3.0
E=0.2
M=1.0
A=0.0 ... 2.0
W=0.25 ... 0.35
E=0.3
M=1.0


Исследование бифуркаций удвоения периода в генераторе с инерционной нелинейностью

Генератор с инерционной нелинейностью - трехмерная математическая модель радиофизической системы с хаотическим поведением. Параметр m отвечает за роль параметра нелинейности и отвечает за подкачку энергии в осциллятор. Параметр g - это постоянная времени инерционной обратной связи (третье уравнение), которая управляет амплитудой колебаний. Предметом исследования в лабораторной работе является последовательность бифуркаций удвоения периодов предельных циклов. Требуется построить участок бифуркационной диаграммы для по меньшей мере трех циклов: периода 1, периода 2 и периода 4.

Методическое указание 1:
Необходимо помнить о параметре Itmap программы LBLC, текущее значение которого должно соответствовать тактности цикла, с которым работает программа.

Методическое указание 2:
Наиболее сложным моментом является переход с цикла, потерявшего устойчивость через бифуркацию удвоения периода, на цикл удвоенного периода, родившийся в этой же точке. Рекомендуется немного продвинуться по параметру за точку бифуркации, проинтегрировать систему в течение некоторого времени, чтобы быть ближе к родившемуся устойчивому режиму, а затем уже производить поиск цикла с помощью алгоритма программы.
Имя уравнений системы в комплексе LOCBIF - GIN

Вариант 4Вариант 5Вариант 6
m=.5 ... 1.4
g= 0.1...0.2
m=.5 ... 1.4
g= 0.2...0.35
m=.5 ... 1.1
g= 0.35...0.6

Перечень других модельных систем, вид уравнений и описание управляющих параметров


Отчет по лабораторной работе

представляется в виде latex или html документа по указанию преподавателя. Он должен содержать:

1) Заголовок, с указанием названия лабораторной работы, Ф.И.О. выполнявших ее студентов, номер учебной группы, номер задания.

2) Сведения (уравнения и комментарий) о модельной системе, смысл параметров, диапазон их изменения.

3) Построенную двупараметрическую бифуркационную диаграмму.

4)Информацию о количестве и типе аттракторов либо особых точек/траекторий в исследованной области и о смысле бифуркационных линий

5) Наброски фазовых портретов либо копии экрана, характеризующие поведение исследуемой системы в различных областях управляющих параметров.

6) Краткое резюме - заключение по пунктам 1-5.