Лабораторная работа N3 практикума "Методы нелинейной динамики"
"Двупараметрический анализ бифуркаций состояний равновесия"

Задачи лабораторной работы:

Ознакомление с методами исследования состояний равновесия на устойчивость и с основными их типами на фазовой плоскости и в трехмерном фазовом пространстве.
Освоение программного комплекса LOCBIF в его части, предназначенной для исследования состояний равновесия динамических систем с непрерывным временем (программа LBEP).
Овладение навыками двупараметрического бифуркационного анализа.


Теоретические сведения

Работа 1 из пособия "Бифуркации регулярных аттракторов".1996.102с.

Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.1999.368с.

О комплексе LOCBIF и программе LBEP

HOWTO-Simview

Порядок выполнения лабораторной работы

1) Ознакомление с теоретическим материалом

2) Ознакомление с программой LBEP на примере уравнений осциллятора Ван дер Поля:
-задание и выбор динамической системы, установка переменных графического окна, установка параметров,
-выбор активных параметров, получение траектории ДС,
-нахождение состояния равновесия, однопараметрический анализ,
-построение бифуркационных линий на плоскости двух параметров.

3) Проведение двупараметрического бифуркационного анализа для заданной ДС в заданном интервале параметров.

4) Подготовка отчета по работе

Контрольные вопросы

1) Каков общий алгоритм исследования на устойчивость состояния равновесия ДС в N-мерном фазовом пространстве?

2) Какие типы состояний равновесия возможны на фазовой плоскости? В фазовом пространстве?

3) Что означают понятия "структурная устойчивость", "бифуркация", "точка бифуркации","коразмерность бифуркации"?

4)Как диагностировать бифуркации состояний равновесия при вариации параметров системы?

Список вариантов задания на выполнение лабораторной работы

Исследование нелинейного осциллятора с постоянным смещением.

d2x/dt2 + Adx/dt - Bx(C-x2) = D


Эта система соответствует известной модели - осциллятору Дуффинга - при условии, что внешнее воздействие представляет собой постоянный сигнал величиной D. Устойчивость режимов с точки зрения диссипации управляется параметром A. Физичные (реализуемые в эксперименте) значения А>0, при этом система диссипативна. Параметр С и соотношение параметров B и D определяют общее количество и положение состояний равновесия. Предметом исследования в лабораторной работе служат бифуркации трех состояний равновесия при вариации параметров С и D и фиксированных значениях параметров A и B . Имя уравнений системы в комплексе LOCBIF - DUFFA

Вариант 1Вариант 2Вариант 3
A=0.2
B=1.0
C=-0.1...+1.0
D=-0.5...+0.5
A=0.2
B=0.5
C=-0.1...+1.0
D=-0.3...+0.3
A=-0.1
B=0.3
C=-0.1...+1.0
D=-0.3...+0.3


Исследование мультистабильной системы с четыремя устойчивыми состояниями

dx/dt = Ax - x3 + Cy
dy/dt = By - y3 + Cx

Эта система представляет собой две связанные бистабильные одномерные системы. Каждое из уравнений при С=0 имеет от одного до трех состояний равновесия. Соответственно, при ненулевом С их может быть до 9. При малых С сохраняется четыре устойчивых состояния. При увеличении С, равно как и при нарушении симметрии системы (A не равно B), два устойчивых состояния равновесия могут исчезнуть. Неустойчивое состояние x=0,y=0 может быть репеллером либо седлом.

Предметом исследования в лабораторной работе служат устройство фазового портрета системы в различных областях параметров. Требуется построить бифуркационную диаграмму при вариации параметров B и C и фиксированном значении параметра A. Одна из линий диаграммы должна соответствовать потере устойчивости одним из двух боковых состояний равновесия, другая линия - бифуркации репеллера. Имя уравнений системы в комплексе LOCBIF - XYBIST

Вариант 4Вариант 5Вариант 6
A=0.2
B= 0...3.0
C=0.1...0.8 		A=0.4
B=0...2.5
C=0...1.0 		A=0.5
B=0...3.0
C=0...+3.0

Перечень других модельных систем, вид уравнений и описание управляющих параметров

Отчет по лабораторной работе

представляется в виде latex или html документа по указанию преподавателя. Он должен содержать:

1) Заголовок, с указанием названия лабораторной работы, Ф.И.О. выполнявших ее студентов, номер учебной группы, номер задания.

2) Сведения (уравнения и комментарий) о модельной системе, смысл параметров, диапазон их изменения.

3) Построенную двупараметрическую бифуркационную диаграмму. 4)Информацию о количестве и типе аттракторов либо особых точек/траекторий в исследованной области и о смысле бифуркационных линий

5) Наброски фазовых портретов либо копии экрана, характеризующие поведение исследуемой системы в различных областях управляющих параметров.

6) Краткое резюме - заключение по пунктам 1-5.