Лабораторная работа No. 6
практикума "Анализ временных рядов": Фрактальные размерности
Задачи лабораторной работы:
Теоретические сведения:
К настоящему времени разработаны различные методы, позволяющие проводить
численное исследование сложных режимов колебаний. С этой целью может
использоваться, например, спектральный анализ. Однако, расчет спектров не
дает возможности отличать хаотическую динамику в системах с малым числом
степеней свободы от динамики многомерных систем. Визуально очень похожие
спектры могут быть получены как для детерминированных хаотических колебаний,
так и для случайных процессов.
Образом хаотического режима колебаний в фазовом пространстве является
странный аттрактор - геометрически очень сложный объект. Особенности его
геометрии можно количественно охарактеризовать с помощью
фрактальных размерностей.
1. Понятие фрактальной размерности
Существуют различные виды размерностей. Размерность фазового
пространства () соответствует количеству переменных, определяющих
состояние динамической системы (ДС). Если математическая модель ДС задана
в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
Другое определение размерности было предложено Хаусдорфом. Пусть -
некоторое множество в пространстве . Предположим, что мы покрываем
данное множество кубиками с величиной ребра, не превышающей
некоторое значение . При этом каждая точка множества должна
обязательно попасть в тот или иной кубик. Тогда мера Хаусдорфа
вводится следующим образом:
Здесь - минимальное значение (нижняя грань) по всем возможным покрытиям множества S кубиками ; - величина ребра кубика ( ). Указанный предел зависит от параметра . Размерность Хаусдорфа представляет собой такое значение , при котором величина является конечной: Согласно данному определению, может принимать нецелые значения. В общем случае, если размерность является нецелой, ее называют фрактальной. Соответственно, объекты, характеризующиеся нецелой размерностью, называют фракталами. Наличие нецелой размерности является типичной особенностью хаотических аттракторов. Хотя понятие размерности Хаусдорфа хорошо определено с точки зрения математики, ее чрезвычайно сложно вычислить. Поэтому обычно используют более ``практичные'' определения фрактальных размерностей.
Одним из таких ``практичных'' определений размерности является емкость
(или емкостная размерность ). Пусть - некоторое множество в
пространстве , которое покрывается кубиками размера .
Если обозначить через число кубиков, необходимых для
покрытия всего множества, то емкость представляет собой предел следующего
вида:
По сути, эта величина характеризует, как меняется число элементов покрытия
при изменении :
Если в качестве рассматривается единственная точка, то
и не зависит от :
Если анализируется отрезок линии (рис. 1) длины , то
Для поверхности площади :
Во всех этих случаях емкость совпадает с топологической размерностью и является целым числом. В качестве примера объекта с дробной размерностью (т.е. фрактального объекта) рассмотрим Канторово множество. Процедура его построения состоит в следующем. Берется отрезок единичной длины [0, 1]; разбивается на 3 равные части, средняя из которых выбрасывается. В результате, на первом шаге процедуры построения Канторова множества мы получаем два отрезка [0, 1/3] и [2/3, 1] длины (рис. 2). На следующем шаге каждый из этих отрезков вновь разбивается на 3 равные части, и опять выбрасывается средняя часть. Такая процедура продолжается со всеми оставшимися отрезками. Если для покрытия множества на некотором шаге k используются кубики с величиной ребра , то необходимое количество кубиков составит .
Таким образом:
Если говорить о геометрии данного объекта, то Канторово множество есть нечто
большее, чем точка (для которой ), но нечто меньшее, чем интервал
(). Для Канторова множества емкость совпадает с размерностью
Хаусдорфа , но не совпадает с топологической размерностью
(). В общем случае справедливо неравенство:
Еще одним примером фрактала служит объект, называемый ``снежинкой'' (либо кривой Кох). ``Снежинка'' имеет удивительное свойство: ее периметр является бесконечным, тогда как сама она занимает ограниченную площадь на плоскости. Процедура построения ``снежинки'' состоит в следующем. Рассматривается равносторонний треугольник, каждая сторона которого разбивается на 3 равные части, и к средней части ``пририсовывается'' равносторонний треугольник меньшего размера (рис. 3). Затем данная процедура повторяется с каждым отрезком полученной геометрической фигуры.
На рисунках 4-6 изображены еще несколько примеров процедуры построения фрактальных объектов. Для получения ``салфетки'' Серпинского (рис. 4) из черного равностороннего треугольника вырезается треугольник меньшего размера (с длиной стороны, уменьшенной в 2 раза); та же процедура осуществляется с каждым из вновь образованных треугольников. С ``салфеткой'' Серпинского тесно связан другой пример - ``ковер'' Серпинского. В отличие от рис. 4, в качестве исходного объекта выбирается квадрат, из которого вырезаются квадраты меньшего размера (рис. 5). Если осуществлять данную операцию бесконечное число раз (то есть осуществить переход к предельной фрактальной кривой), то черные участки исходного квадрата исчезают, а полный периметр ``дыр'' в ``ковре'' Серпинского становится бесконечным.
На рис. 6 изображена процедура построения квадратной кривой Кох. В качестве исходного объекта выбирается квадрат, каждая сторона которого заменяется ломаной, состоящей из 8 отрезков равной длины. Во всех рассмотренных примерах значение легко можно вычислить аналитически.
К сожалению, во многих случаях, представляющих практический интерес
(например, если мы будем анализировать сложную геометрию объектов фазового
пространства), вычислить емкость можно только численно (на компьютере); при
этом определение непосредственно по формуле (2) зачастую осложняется
очень медленной сходимостью отношения
к
пределу
(если речь идет о расчете емкости объекта в
фазовом пространстве размерности , например, странного аттрактора).
Кроме того, не зависит от вероятности посещения тех или иных областей
фазового пространства, т.е. не учитывает статистические свойства потока,
обусловленные динамикой системы (1). Поэтому на практике вместо емкости
предпочитают вычислять корреляционную размерность , которую можно легче
(и быстрее) оценить численно. Для объектов с целой размерностью . В
более общем случае .
2. Расчет корреляционной размерности
аттрактора
Рассмотрим ДС вида (1), демонстрирующую хаотический режим колебаний.
Решением системы уравнений (1) является фазовая траектория . При
проведении численных исследований осуществляется анализ не непрерывных функций
времени, а дискретных значений
, где - шаг
дискретизации (он может быть выбран равным, например, шагу интегрирования).
То есть, мы имеем дело с многомерными временными рядами
, где - число точек анализируемых данных.
Предположим, что фазовая траектория -мерной ДС (1) лежит на
некотором аттракторе A и возвращается в любую сколь угодно малую
окрестность произвольной точки данного аттрактора. В этом случае
корреляционную размерность можно вычислить по формуле:
Расчет корреляционной размерности может производиться непосредственно по
массиву векторов
. Однако, для оценки аттрактора
A часто бывает более целесообразно осуществлять переход к сечению Пуанкаре и
вычислять корреляционную размерность точек в сечении (). Размерность
аттрактора A в этом случае определяется увеличением значения на
единицу:
. Отметим одно важное обстоятельство: вычисление
позволяет получать некоторую оценку снизу значения емкости либо
размерности Хаусдорфа аттрактора A. Причем, если корреляционная
размерность рассматривается именно как оценка , нужно принимать во
внимание, что может существенно отличаться от размерности Хаусдорфа
(в частности, для хаотического аттрактора в системе Ресслера
может принимать
значение , тогда как ). В связи с этим расчеты
корреляционной размерности являются более привлекательными при исследовании
ДС по одномерным ``проекциям'' фазовой траектории (скалярным временным рядам).
В этом случае расчет корреляционной размерности позволяет сделать вывод о
наличии (либо отсутствии) маломерной динамики системы. Метод расчета
по скалярному временному ряду имеет лишь небольшое отличие от рассмотренного
выше подхода: в формуле для корреляционного интеграла (4)
вместо массива векторов
, который предполагается неизвестным, рассматривается
другой массив
, полученный в результате реконструкции
аттрактора A (задача реконструкции будет подробно рассмотрена в следующем
разделе). Сама процедура расчета корреляционного интеграла при этом не
меняется.
3. Реконструкция аттрактора
Реконструкция представляет собой метод исследования динамических систем вида
(1) по временным зависимостям одной (или нескольких) переменных . Ранее
считалось, что для изучения динамики автоколебательной системы в терминах
фазового пространства необходимо знание всех координат, определяющих ее
состояние. Однако, в начале 80-х годов данное представление подверглось
пересмотру. Было обосновано, что фазовый портрет динамической системы (1)
может быть восстановлен по временному ряду (представляющему собой
дискретизованную с шагом временную зависимость одной из
``наблюдаемых'' переменных ДС:
),
если в качестве недостающих координат вектора состояния используется тот же
самый ряд , взятый с некоторым запаздыванием. В 1981г. Такенсом была
доказана теорема, утверждавшая следующее: Предположим, что фазовая
траектория некоторой мерной ДС (1) лежит на аттракторе ,
принадлежащем гладкому мерному многообразию.
Тогда по одномерной ``проекции'' этой траектории методом задержки (5)
можно получить мерную реконструкцию исходного аттрактора как
множество векторов в при :
Согласно теореме Такенса, отображение является гладким и обратимым на почти для любого (если ). Это означает, что множество восстановленных -векторов может быть обработано вместо исходных (и часто неизвестных нам) векторов с целью вычисления метрических (фрактальные размерности) или динамических (ляпуновские показатели) характеристик аттрактора системы (1).
В действительности, на компьютере анализируется ряд значений переменной
в дискретные моменты времени , поэтому реконструируемое
множество векторов также является дискретным
, а
величина , называемая задержкой, имеет вид
,
где - целое число. Иными словами, на практике равенство (5) может быть
переписано следующим образом:
где нижний индекс соответствует моменту времени . Сама техника реконструирования состоит в выборе значений задержки , размерности пространства вложения и в формировании массива векторов . Предполагается, что полное время наблюдения и число точек достаточно велики, чтобы по траектории можно было судить о важнейших свойствах интересующего нас аттрактора.
В качестве примера рассмотрим уравнения модели Лоренца:
при значениях параметров , , , соответствующих режиму динамического хаоса. Проекция фазового портрета хаотического режима на плоскость изображена на рис. 7а. По временной зависимости уравнений (6) можно осуществить реконструкцию методом задержки (5) - рис. 7б,в. В соответствии с теоремой Такенса мы ожидаем, что по восстановленному аттрактору (рис. 7в) могут быть вычислены такие характеристики анализируемого режима динамики (рис. 7а), как фрактальные размерности.
На практике мы всегда работаем с конечным числом точек . Это приводит к необходимости тщательно выбирать параметр , поскольку качество реконструкции будет различным при его вариации. (Качество может оцениваться различным образом, например, с точки зрения близости численных значений тех или иных характеристик аттракторов и .) Если слишком мало (рис. 8а), то -я и -я координаты точки в фазовом пространстве практически неразличимы. Реконструированный аттрактор в этом случае располагается вблизи главной диагонали пространства вложения, определяемой равенством координат , т.е. множество векторов концентрируется вблизи одной линии. Это приводит к заниженному значению размерности аттрактора по сравнению с . Слишком большое (рис. 8б) также создает трудности: координаты оказываются некоррелированными, и реконструированный аттрактор не отражает истинной динамики.
Для удобства анализа вместо зависимости от можно рассматривать локальные наклоны данного графика, соответствующие различным масштабам (рис. 10). Вариация размерности пространства вложения позволит наблюдать насыщение значения в области участка масштабной инвариантности (или фрактальности), который соответствует линейной зависимости от .
Точность определения размерности определяется длиной линейного участка, т.е. величиной . Считается, что при наличии свойств фрактальности не может быть меньше , а для надежного измерения необходимо .
При работе с временными рядами обычно поступают следующим образом. Выбирают
произвольное (малое) значение размерности пространства вложения и
вычисляют по наклону линейного участка графика
от
. Затем увеличивают на единицу и вновь определяют .
Таким образом, анализируется зависимость результатов расчета корреляционной
размерности от выбора пространства вложения. Данный прием позволяет сделать
вывод о наличии (либо отсутствии) маломерной динамики: при ее наличии
зависимость быстро достигает насыщения (например, ) и при
дальнейшем увеличении не меняется (в пределах точности вычисления). Если
маломерная динамика отсутствует, то увеличивается с ростом . В этом
случае при достаточно больших возможно насыщение, которое обусловлено
фундаментальными ограничениями на значение корреляционной размерности,
связанными с конечной длиной анализируемого временного ряда:
Данная формула означает, что алгоритм расчета размерности не может дать значение больше, чем при заданном числе точек . Иными словами, если и , то ; если , то . Наличие фундаментальных ограничений создает серьезные проблемы, если проводится сравнение сложных, но детерминированных режимов динамики в системах с достаточно большим числом степеней свободы и случайных процессов. При изучении динамики маломерных систем таких проблем не возникает. Практическая реализация алгоритма расчета размерности предполагает составление программы вычисления корреляционного интеграла в широком диапазоне по параметру и нахождение локальных наклонов зависимости от . Если уравнения ДС (1) известны, т.е. мы можем проинтегрировать математическую модель, в формуле (4) рассматривается массив векторов . При работе с одномерным временным рядом предварительно проводится реконструкция (выбирается значение задержки и размерности пространства вложения), после чего в формуле (4) рассматривается массив векторов . При расчете можно выделить 3 важные характеристики массива данных: полное время наблюдения , число точек и шаг между ними . Они связаны соотношением . Их следует рассматривать вместе, поскольку одного из них недостаточно: большое при малом может быть столь же плохо как и малое при большом . Очевидно, например, что размерность аттрактора не может быть вычислена, если в малые окрестности точек в фазовом пространстве будет попадать меньше соседей. Если расчет размерности сопровождается процедурой реконструкции аттрактора, появляются дополнительные параметры, которые также влияют на точность расчетов. Для того, чтобы быть уверенным в результатах вычислений, экспериментаторы предпочитают немного ``покрутить'' различные параметры и убедиться, что полученные оценки при этом будут меняться незначительно.
Меньше проблем возникает при исследовании дискретных отображений вида:
поскольку в этом случае уменьшается число параметров, от которых зависит точность определения корреляционной размерности (в частности, отсутствует , а величина временной задержки обычно принимается равной единице), в то время как сама программа расчета размерности остается прежней.
Ссылки на технические руководства:
Как написать, откомпиллировать и запустить простую С-программу
Порядок выполнения лабораторной работы:
1) Ознакомление с теоретическим материалом.
Содержание и оформление отчета по
лабораторной работе:
Отчет по лабораторной работе представляется в виде latex или html документа по указанию преподавателя. Он должен содержать: 1) Заголовок, с указанием названия лабораторной работы, Ф.И.О. выполнявших ее студентов, номер учебной группы, номер задания. 2) Сведения (уравнения и комментарий) о модельной системе, смысл параметров, диапазон их изменения. 3) Построенную двупараметрическую бифуркационную диаграмму. 4) Информацию о количестве и типе аттракторов либо особых точек/траекторий в исследованной области и о смысле бифуркационных линий 5) Наброски фазовых портретов либо копии экрана, характеризующие поведение исследуемой системы в различных областях управляющих параметров. 6) Краткое резюме - заключение по пунктам 1-5.
Список вариантов заданий на выполнение
лабораторной работы:
Задание 1. Вычислить аналитически емкостную размерность:
Задание 2. Составить программу реконструкции фазового портрета по предоставленному временному ряду . Подбором задержки оценить оптимальное значение временной задержки (исходя из геометрии реконструированного множества - аттрактор не должен быть слишком вытянут ни в одном из направлений).
Задание 3.
Вариант (б): Определить корреляционную размерность хаотического аттрактора в двумерной дискретной динамической системе Лози. С этой целью необходимо выполнить те же операции, что и в варианте (а), только теперь в файл ``data'' будут записаны значения , другой модельной системы. Вариант (в): Определить корреляционную размерность хаотического аттрактора в отображении Хенона по одной координате. Для этого нужно записать в файл ``data'' в две колонки значения , , . Далее воспользоваться программой ``cordim.x'' по аналогии с заданием 3(а). Вариант (г): Определить корреляционную размерность хаотического аттрактора в отображении Лози (8) по одной координате. Для этого нужно записать в файл ``data'' в две колонки значения , , . Далее воспользоваться программой ``cordim.x'' по аналогии с заданием 3(а).
Перечень модельных систем для выполнения
задания 3:
|